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第248章 函数之妙－－xe＾x（第1页）

《函数之妙——xe^x》

一日，众学子齐聚，戴浩文先生轻捋胡须，微笑道：“今日，吾与汝等探讨新之函数，f（x）=xe^x。”

学子们皆面露好奇之色，静候先生讲解。

“先观此函数之定义域。

因指数函数e^x恒大于零，故x可取任意实数，此函数之定义域为全体实数。”

“再论其渐近线。

当x趋向于正无穷时，e^x增长速度远快于x，故此时f（x）=xe^x趋近于零。

此表明函数有水平渐近线y=0。

至于垂直渐近线，因函数在整个定义域内皆有定义，故不存在垂直渐近线。”

学子甲问道：“先生，此渐近线之意义何在？”

戴浩文先生答曰：“渐近线可助吾等理解函数在无穷远处及特殊点附近之行为。

水平渐近线显示函数在无穷大时之趋势，为吾等提供对其长远变化之直观认识。

于实际问题中，可借此判断函数之增长或衰减是否有极限。”

“且看其导数。

令g（x）=f（x）之导数，则g（x）=（e^x-x*e^x）（e^x）^2=（1-x）e^x。”

“分析导数之正负，可判函数之单调性。

当1-x＞0，即x＜1时，g（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，g（x）＜0，f（x）单调递减。

故函数在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减。”

学子乙疑惑道：“先生，此单调性有何用处？”

先生曰：“知其单调性，可助吾等了解函数值之变化规律。

于实际问题中，若函数代表某种变化过程，如经济增长、物理现象等，单调性可揭示该过程是递增还是递减，进而为决策提供依据。”

“又因函数在x=1处由增变减，故x=1为函数之极大值点。

将x=1代入函数f（x），可得极大值为f（1）=1e。”

学子丙问道：“先生，此极大值意义何在？”

先生答曰：“极大值可视为函数在一定范围内所能达到之最大值。

于实际问题中，若函数代表某种效益或性能，极大值点则对应最佳状态。

如在工程设计中，可通过求函数极大值来确定最优参数，以实现最佳效果。”

“今论函数之图像变换。

设h（x）=xe^x+a（a为常数），此乃对函数f（x）进行垂直平移。

当a＞0时，函数图像整体向上平移a个单位；当a＜0时，函数图像整体向下平移|a|个单位。

其导数与f（x）相同，故单调性与极大值皆不变，仅函数图像在y轴上之位置改变。”

学子丁问道：“先生，此平移变换于实际有何影响？”

先生曰：“平移变换可用于调整模型之基准线。