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第10章 大数法则与小数定律（第2页）

两件事的不同之处在于：你想到锤子砸鸡蛋时感受到的那种明确的因果联系，在瓮中取样的设想中是找不到的。

相关的统计学事实与癌症那个例子也有联系。

两个耐心的计数者轮流从瓮中取大理石球，杰克每次拿出4个球，吉尔拿出7个。

他们都记录了每次拿到相同颜色弹球的次数—要么全白，要么全红。

如果他们取球的做法持续的时间足够长，杰克拿到同颜色大理石的次数会是吉尔的8倍（两人的预期概率分别为12.5%和1.56%）。

这个结果与锤子无关，也与因果联系无关，这仅仅是一个数学上的事实：一次拿4个弹球与一次拿7个相比，出现极端结果的概率更大。

现在，将美国人口想象成一个巨大的瓮中的弹球。

有些球上标有KC（即KidneyCancer的简称）字样，表示肾癌。

你抽取弹球样本，并依次按照所在县摆放，你会发现乡村地区的样本要比其他地区的少。

如同杰克和吉尔所做的那个游戏一样，极端的结果（非常高或非常低的癌症发病率）容易出现在人口稀少的县，这个故事告诉我们的就是这些。

我们从一个令人费解的事实说起：肾癌的发病率在各县有所不同，且是有规律的，我用统计学理论对此作了解释：相比于大样本，极端的结果（高发病率和低发病率）更容易出现在小样本中。

这样的解释不存在因果联系。

某县的人口稀少既不会引发癌症，也不能避免癌症，只会使癌症的发病率比人口稠密地方的发病率更高（或更低）。

这就是真相，没什么可解释的。

在某个人口稀少的县，癌症发病率并非真的比正常情况更低或更高，只是这个县正好在某个特殊的年份赶上了抽样调查罢了。

如果我们在第二年重复这样的分析，也能预测到在小样本中出现极端结果的一般模式，但在前一年癌症发病率高的县，这一年发病率并不一定高。

如果是这样的话，则人口稠密或稀少的因素就无法对发病率作出解释了：这些表面因素就是科学家眼中所谓的假象，即观察结果完全依赖于调查方法的某一方面，在这个案例中，则依赖于样本大小。

我刚才说的例子也许会令你惊讶，但这并不是真相初次大白于天下。

你早就知道应该更相信大样本，并且即使是对统计学一无所知的人也听说过大数法则。

但是“知道”

并非是非抉择问题，你可能会发现下列陈述放在自己身上很合适：

·当你阅读这个关于流行病学的例子时，并没有立刻注意到“人口稀少”

这一特点与此次调查有何关联。

·对于采用4个样本还是7个样本所产生的不同结果，你至少会感到有一点惊讶。

·即使是现在，想要确定下面两个陈述句所说的完全是一回事，你也要费些脑力：

（1）大样本比小样本更精确。

（2）小样本比大样本产生极端结果的概率大。

第一个表述清晰地陈述了一个事实，但直到感受到第二个表述传达给你的意思，

你才意识到自己并没有真正理解第一个表述的意思。

上述内容概括起来就是：没错，你知道大样本的结果更精确，但你现在可能才意识到你并不清楚为什么它们更精确。

不仅你一人如此，阿莫斯与我在一起进行的第一个研究表明，即使是经验丰富的研究人员对样本效应也缺乏直觉，要么就是理解不到位。

小样本的出错风险可能高达50%

没有接受过统计学方面训练的人是出色的“直觉性统计学家”

。

我与阿莫斯在20世纪70年代早期的合作便始于对这个观点的讨论。