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第249章 函数之妙－－xe＾x续（第1页）

《249函数之妙——xe^x（续）》

一日，众学子再度齐聚，戴浩文先生神色肃然，缓缓开口道：“前番吾等探讨函数f（x）=xe^x，今日吾将深入剖析，以启汝等之智。”

学子们皆正襟危坐，洗耳恭听。

“且论此函数之对称性。

细察之，虽此函数无明显轴对称或中心对称，然可通过变换探寻其潜在对称之性。

设t（x）=-xe^（-x）=xe^x，与原函数f（x）=xe^x相较，二者看似无直接对称关系。

然若深入分析其导数，t（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，f（x）=（1-x）e^x，虽导数不同，但亦可从中窥探其变化之规律差异，为进一步理解函数性质提供新视角。”

学子甲问道：“先生，此对称性之探寻有何深意？”

戴浩文先生答曰：“对称性之研究可助吾等更全面地认知函数之特征。

虽此函数无传统之对称，然通过此类分析，可拓展思维，洞察函数间之微妙联系。

于实际问题中，或可借此发现不同情境下之潜在规律，为解决复杂问题提供新思路。”

“再观函数之复合。

设u（x）=（xe^x）^2，此乃函数f（x）=xe^x之自复合。

求其导数，u（x）=2*（xe^x）（1-x）e^x=（2x（1-x））e^（2x）。

分析此导数，可判u（x）之单调性与极值。

当2x*（1-x）＞0，即0＜x＜1时，u（x）＞0，u（x）单调递增；当x＜0或x＞1时，u（x）＜0，u（x）单调递减。

故函数u（x）在（0，1）单调递增，在（-∞，0）与（1，+∞）单调递减。

且当x=0或x=1时，取得极值。”

学子乙疑惑道：“先生，此复合函数有何用处？”

先生曰：“复合函数之研究可丰富对原函数之理解。

于实际问题中，若函数关系较为复杂，常涉及复合之情形。

通过分析复合函数之性质，可更好地把握整体变化规律，为解决实际问题提供有力工具。”

“又设v（x）=e^（xe^x），此为以原函数为指数之复合函数。

求其导数，v（x）=e^（xe^x）*（1-x）e^x。

分析其导数之正负，可判v（x）之单调性。

当1-x＞0，即x＜1时，v（x）＞0，v（x）单调递增；当x＞1时，v（x）＜0，v（x）单调递减。

故函数v（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减。”

学子丙问道：“先生，此复合函数与前之复合有何不同？”

先生答曰：“二者复合方式不同，导数表达式亦异，故其单调性与极值情况各不相同。

此展示了函数复合之多样性，可根据不同需求选择合适之复合方式，以更好地分析问题。”

“今论函数与数列之联系。

设数列{a?}，a?=ne^n。

分析此数列之单调性与极限。

求其相邻项之比，a???a?=（n+1）n*e^（-1）=（1+1n）e。