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第四十六章 计算（第1页）

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应该说，微分和积分为什么互为逆运算，而且为什么通过反求导就能求出区域面积，这大概是在学习微积分的时候，很多人最难理解的一个点。

甚至曾经在很早之前，大家都把微分和积分看作是两个互不关联，毫不相关的东西去看待，直到后面出现了牛顿和莱布尼茨。

考虑到证明的过程是很难直观去理解的，所以李纵才举了这么一个或许并不太严谨，但却意外好懂的例子，把求积分的图，当成是瞬间速度变化的图。

然后求从a到b时间之内，到底走过了多少路程，这是不是就是反求导之后，用大写的f代表原函数，黄色区域的面积就等于f（b）-f（a）。

这正是计算积分十分重要的一个公式，将连续的需要求和的一条条铅垂线的过程，转变成了只需要代入边界的值，一减就能求出面积。

见两人还在犹豫，李纵也是把路程等于速度乘以时间，面积等于底边乘以高，两者都是乘法的这么一个过程写了出来，道“其实我们不必纠结于为什么路程可以看成是面积。”

“我们只需要知道他们都同样是乘法运算，而且，都是函数关于一滴滴的单位之内，会得到某个值就行了。”

“而且，如果反过来理解，求积分的这个图，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的时间之内，面积的变化率。”

见两人还在沉思，李纵便继续道“那么，假设这种想法是对的，我们已经得知，这两种运算存在着一种互逆的关系，那么，我们可以怎么使用这种关系？”

“是不是就可以求积分了，积分原本是要把很多很多的铅垂线的面积加起来，正常来说，我们人是办不到的，但是如果能把它转换为微分时的原函数，积分是不是就可以计算了。”

“直接代入两个边界的点，一减，答案不就出来了。

b点的里程，比如说15里，减去a点的里程，比如说10里，一减，中间的5里，就是我们走过的路程。”

“那么问题来了！

这个积分的函数，跟它微分时的原函数，到底存在着一种什么样的关系。”

“或者说，我现在已经知道了积分的函数了，x，那么，微分时的原函数，是什么？所以是不是就是一次从微分的结果，反推微分的开头的这么一个过程。”

“那接下来我们便尝试着拿一个例子，来求一次微分。”

“2，根据刚刚微分的定义，是不是就可以有以下这个式子”

图。

“此式子怎么理解，刚刚我们是用t-a的方式，但这样显然是算不出来的，所以我们把t换成x+Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量，但是这个增量又是无限小，我们定义无限小不等于0，但是它无限趋近于0。”

“接下来便可以对式子进行运算。”

图。

“正如同前面我们说让t就是等于a，那么很短很短的时间，也就没有争议。

这个的Δx，我们把他视为是没有增量，那么这条式子最后，微分出来，等于2x也就没有争议了。”

“当然，前提是，我们定义了无限小，是趋向于0。”

“这正好就是微分的结果跟原函数。”

“接下来，我们可以代入一些数字来测试一下。”

“首先明确，2是路程关于时间的函数，x是路程变化率，也就是速度关于时间的函数。”

“x在某一段时间内走过的路程，即这个函数在给定边界范围的面积。”

“就可以变成求出原函数，然后代入边界，。”

“x的这个与x、y边界所围成的面积，是不是也是，按照三角形的面积公式，底是1，高是2，1x2÷，也等于1。”