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第77章 费马原理（第2页）

或“4点”

的问题，但可以简化成抛硬币的问题：甲乙两人抛硬币，甲赌“正”

，乙赌“反”

，赢家得1分，各下赌注$10，先到达10分者获取所有赌注。

如果赌博在“甲8分、乙7分”

时中断，问应该如何分配这$20赌注？

费马回信的分析：“从赌博的中断点出发，还至多需要抛4次硬币来决定甲乙最后的输赢。”

帕斯卡看信：“这4次随机抛丢或产生16种等概率的可能结果，因为“甲赢”

需要结果中出现2次“正”

，“乙赢”

需要结果中出现3次“反”

，所以，在16种结果中，有11种是“甲赢”

，5种是“乙赢”

。

换言之，如果赌博没有中断，而是从中断点的状态继续到底的话，可以如此算出甲赢的概率是1116，乙赢的概率是516。

赌博的中断使得双方按照这种比例失去了最后赢得全部赌注的机会，但按此比例来分配赌注应该是合理的方法。

所以，根据费马的分析思路，甲方应该得$20×1116=$13.75，乙方则得剩余的，或$20×516=$6.25。”

帕斯卡十分赞赏费马思路之清晰，费马所得的结果也验证了帕斯卡自己得到的结论，虽然他用的是完全不一样的方法。

帕斯卡给费马写信也讨论了自己的结果：“解决这个问题的过程中提出了离散随机变量“期望值”

的概念。

期望值是用概率加权后得到的“期望”

的平均值。

帕斯卡计算出从甲方的观点，“期望”

能得到的赌注分配为$13.75，与费马计算的结果一致。”

期望是概率论中的重要概念，期望值则是概率分布的重要特征之一。

它常被用在与赌博相关的计算中。

例如，赌场轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是138。

赌注（比如$1）押在其中一个数字上，如果押中，顾客得到35倍的奖金（$35），否则赌注被赌场所得。

藉此，我们可以计算顾客“赢”

的期望值。

从研究掷骰子开始，帕斯卡不仅仅引入了期望的概念，还发现了帕斯卡三角形（即杨辉三角），虽然杨辉早于帕斯卡好几百年，但是帕斯卡将此三角形与概率、期望、二项式定理、组合公式等等联系在一起，与费马一起为现代概率理论奠定了基础，对数学作出了不凡的贡献。

1657年，荷兰科学家惠更斯在帕斯卡和费马工作的基础上，写成了《论赌博中的计算》一书，被认为是关于概率论的最早的系统论著，但人们仍然将概率论的诞生日定为帕斯卡和费马开始通信的那一天——1654年7月29日。