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第一百三十八章 蛋糕（第2页）

伊诚继续前进，来到第三题。

【在生日派对上，有一群小伙伴，作为寿星得为他们切蛋糕，蛋糕得保证切得每一块都是同样体积同样奶油，这样才不会有小朋友不开心。

s是xy平面上的一个凸集。

凸集实数r（或复数c上）向量空间中，集合s称为凸集，如果s中任两点的连线内的点都在集合s内。

对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。

在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。

】

题目中特地对凸集做了解释。

蛋糕是明显的凸集，可以用肉眼就能看出来的。

伊诚对此没有任何疑问。

他继续往下审题——

【假设蛋糕的高度为h，h≈ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;gt;0，定义在三维空间中一个点集c={（x，y，z）|（x，y，z∈s，且0小于等于z小于等于h）}

那么c为以s为基准的一个高度为h的蛋糕。

蛋糕的高度是一致的，假定c除了底面之外的其他表面均匀地涂上了奶油。

那么，讲一个平面s划分成k个集合，如果这k个集合的面积想通，且所占的原s的周边长度也相同，则称其为s的一个k完美划分。

如果它的所有划分线都是从一个点出发的线段，则称该划分为一个星状完美划分。

试证明

任何一个平面凸集均存在3星状完美划分。

】

卧槽，一个切蛋糕，你罗里吧嗦说这么多干嘛？

伊诚对出题人的语文水平表示怀疑。

他已经是lv2的文学学习水平，加上8期中国诗词大会擂主，他现在有资格吐槽。

简单来说，比如一个圆，在其中划分一个米字，变成6等分，那么这个米字型划分就被称为6星完美划分。

现在只需要证明的是不管任何形状，只要是凸集，就能3星完美划分。

伊诚开始在草稿上进行论证。

但是工作进行了半个小时，他突然发现——

你妹的这题看起来简单，实际上却非常难。

为什么呢？

因为在证明这个题目之前，需要连续证明7个引理。

这比刺杀雅典娜只差了5宫而已。

伊诚心想，你们就算是7个葫芦娃，老子也要把你们打死。

大娃是

证明对于凸集s，存在一个边的3等长划分s1、s2、s3，满足s1、s2、s3围成的面积均小于s面积的13。

二娃

证明对于凸集s，s1、s2、s3是s的边的一个等长划分，那么s1、s2、s3所分别围成的面积中至多只有一个不小于s面积的13

……

七娃如果将s的边划分成连续长度相同的三段，这三段分别包围的面积若都不超过s面积的13，那么命题得证——任何一个平面凸集均存在3星完美划分。

伊诚只觉得浑身燥热，大汗淋漓。

一路祭出各种法宝，终于把7个葫芦娃一一降服。