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第246章 函数之妙－－lnxx续（第2页）

学子丙感慨道：“先生，此高阶导数之求，实乃不易。

然其价值何在？”

文曰：“高阶导数如层层迷雾中之明灯，引领吾辈深入函数之奥秘。

在近似计算中，可提高精度；在理论研究中，可拓展视野。

汝等当不畏艰难，勇于探索。”

二、函数的积分

1.不定积分

求函数f（x）=lnxx的不定积分。

设∫（lnxx）dx，可令u=lnx，则du=1xdx。

此时∫（lnxx）dx=∫udu=u22+C=（lnx）22+C。

不定积分的意义在于，它为我们提供了一种反求导的工具。

通过不定积分，我们可以找到函数的原函数族，从而更好地理解函数的性质和变化规律。

学子丁问道：“先生，此不定积分之原函数族，如何应用于实际问题？”

文曰：“在物理问题中，可通过不定积分求位移、速度等；在经济领域，可用于计算总成本、总收入等。

汝等当灵活运用，方显其价值。”

2.定积分

考虑定积分∫a，bdx，其中a、b为给定区间的端点。

定积分在计算曲线下面积、求解物理问题等方面有着广泛的应用。

例如，当a=1，b=e时，∫1，edx。

可通过换元法或分部积分法进行求解。

学子戊曰：“先生，此定积分之求解，可有妙法？”

文曰：“定积分之求解，需细心观察，巧妙运用方法。

换元法、分部积分法皆为常用之策。

汝等当多做练习，熟能生巧。”

三、函数与数列的联系

1.数列极限与函数极限的关系

设an=lnnn，考察数列{an}的极限。

由函数f（x）=lnxx的性质可知，当x趋近于正无穷时，lnxx趋近于零。

而数列{an}可以看作是函数f（x）在正整数点上的取值。

根据函数极限与数列极限的关系，若函数f（x）在某一点的极限存在，那么该函数在该点附近的数列极限也存在且相等。

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所以lim（n→∞）lnnn=0。

学子己疑问道：“先生，此数列极限与函数极限之关系，何以如此？”

文曰：“此乃数学之妙处。

数列可视为函数之特殊情况，二者相互联系，共同揭示数学之规律。