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第245章 函数之妙－－lnxx（第1页）

《函数之妙——lnxx》

夫函数者，变化之理，天地之数也。

前已述函数lnxx之特性，今当续而论之，以启众人之智。

且看此函数，形如lnx除以x。

先思lnx之性，对数之象，乃示指数之逆。

x者，变数也，代表世间万物之多寡。

二者相除，其义深远。

当论其定义域。

lnx之定义域为x大于零，故lnxx之定义域亦为x大于零。

此乃其存在之域，不可不察。

观其单调性。

欲求其单调性，可求其导数。

令f（x）=lnxx，则f（x）=（1-lnx）x2。

当f（x）＞0时，函数递增；当f（x）＜0时，函数递减。

解f（x）=（1-lnx）x2＞0，即1-lnx＞0，lnx＜1，解得0＜x＜e。

故当0＜x＜e时，函数f（x）=lnxx单调递增；当x＞e时，函数单调递减。

由此可知，e乃此函数单调性之关键。

当x趋近于零时，lnx趋近于负无穷，而x趋近于零正，故lnxx趋近于负无穷。

当x趋近于正无穷时，lnx增长速度远慢于x，故lnxx趋近于零。

再论其极值。

由单调性可知，当x=e时，函数取得极大值。

f（e）=lnee=1e。

此极大值乃函数之高峰，具有重要意义。

夫函数之图像，可助吾辈直观理解其性。

lnxx之图像，先增后减，呈单峰之状。

在x=e处达到最高点，如山峰屹立。

当x趋近于零时，图像趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，图像趋近于零。

其图像之美，犹如山水画卷。

山峰代表极大值，两侧曲线渐趋平缓，寓意着函数之变化趋势。

观此图像，可悟函数之奥秘，领略数学之美。

又思此函数之应用。

在实际问题中，lnxx可用于优化问题。

例如，在某些经济模型中，可通过求此函数的最值来确定最优策略。

设一商家欲求利润最大化，其利润函数与lnxx相关。

通过分析此函数的性质，可找到利润最大时的条件，从而制定最佳经营策略。

此外，lnxx在物理学、工程学等领域也有广泛应用。